Algebraische Algorithmische Geometrie

Sommersemester 2004

Vorlesung:
Vorläufige Termine:
Dienstag 17-19 Uhr, G29-E037
Donnerstag 15-17 Uhr, G22A-105

Vorlesungsmaterialien (Geben Sie als Benutzername bitte vorname.nachname ein, ohne Leerzeichen und mit expandierten Umlauten. Aus Carl Friedrich von Weizäcker würde beispielsweise carlfriedrich.vonweizaecker . Das zugehörige Kennwort ist ihre Matrikelnummer!)

Vorraussetzungen:
Grundkentnisse in Algebra (Gruppen, Ringe, Körper, Polynomringe)
und Algorithmischer Geometrie (kann man sich auch nebenbei aneignen).
Keine Angst vor Mathematik!

Inhalt: Die Algorithmische Geometrie hat sich zunächst hauptsächlich mit linearen Objekten wie Punkten, Geraden, Ebenen, Hyperebenen beschäftigt. Die Erweiterung der entwickelten Techniken auf nichtlineare Objekte hat in den letzten Jahren zunehmend an Bedeutung gewonnen. Im Vergleich zum Umgang mit linearen geometrischen Objekten sind die geometrischen Grundoperationen beim Umgang mit nichtlinearen geometrischen Objekten wie Kreisen, Parabeln und Kugeln oder, allgemeiner, algebraischen Kurven und Flächen naturgemäß komplizierter. Dies gilt insbesondere, wenn man Rechengenauigkeitsprobleme durch "exaktes Rechnen" vermeiden möchte. Wir wollen uns in der Vorlesung algebraische Grundlagen von geometrischen Basisoperationen anschauen, die in auf nichtlinearen geometrischen Objekten operierenden Algorithmen auftreten, beispielsweise bei der Berechnung des Arrangement einer Menge von kubischen Kurven:

Der Screenshot wurde freundlicherweise von Susanne Schmitt und Arno Eigenwillig aus dem EXACUS Projekt des Max-Planck-Instituts für Informatik in Saarbrücken zur Verfügung gestellt.
In der Vorlesung werden wir uns neben geometrischen Algorithmen algebraischen Verfahren widmen, die der exakten Umsetzung geometrischer Basisoperationen auf nichtlinearen Objekten dienen. Beispielsweise werden wir Verfahren zum Lösen von Gleichungssystemen kennenlernen, die aus nichtlinearen Polynomen in mehreren Variablen bestehen, und Methoden zum exakten Rechnen mit (reellen) algebraischen Zahlen kennenlernen. Solche Verfahren findet man auch in Computer Algebra Systemen.

Literatur:
Da sich die Vorlesung mit recht aktuellen, forschungsnahen Themen auseinandersetzt, gibt es noch kein Lehrbuch zur Algorithmischen Geometrie, das den in der Vorlesung behandelten Stoff abdeckt. Wir werden daher auf Originalarbeiten zurückgreifen.

Webmaster -